Didaktik der
Mathematik

UNIVERSITÄT ERLANGEN-NÜRNBERG
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Examensaufgaben - Erste Staatsprüfung für ein Lehramt an öffentlichen Schulen, Fachdidaktik Mathematik - Realschule
Examensaufgaben vor 1990

1989/II,1

1. a) Erläutern Sie den Begriff der Umkehrfunktion!

b) Beschreiben Sie verschiedene Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen! Diskutieren Sie die Eignung der verschiedenen Darstellungsformen, um die Existenz einer Umkehrfunktion aufzuzeigen!

2. Für welche Funktionstypen werden im Mathematikunterricht der Realschule Umkehrfunktionen behandelt? Erläutern Sie typische Probleme und Lösungen!

3. a) Diskutieren Sie, welche Bedeutung Logarithmen heute noch in der Realschule haben!

b) Entwickeln Sie eine Unterrichtssequenz zur Einführung der Logarithmusfunktion und zur Herleitung ihrer wichtigsten Eigenschaften!

1989/II,2

1. Ein Würfel mit der Kantenlänge a soll durch eine Ebene in zwei kongruente Teile zerschnitten werden, und zwar so, daß die Schnittfläche jeweils ein Quadrat, ein Sechseck oder eine Raute ist.

a) Fertigen Sie für die vier Fälle eine Schrägbildskizze des Würfels mit der betreffenden Schnittfläche!

b) Unter den sechseckigen Schnittflächen befindet sich ein reguläres Sechseck. Berechnen Sie dessen Inhalt!

2. Untersuchen Sie die Würfelschnittaufgabe hinsichtlich ihrer Brauchbarkeit für den Unterricht der Realschule. Welche allgemeinen Ziele des Mathematikunterrichts lassen sich mit ihr erreichen?

3. Geben Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema "Inhalt des Parallelogramms und des Dreiecks" an!

1989/II,3

1. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens, das mit Hilfe einer Intervallschachtelung den Kreisumfang bestimmt! Geben Sie die Intervallschachtelung explizit an!

2. Entwerfen Sie eine Unterrichtseinheit zur Bestimmung des Kreisinhalts aus dem Kreisumfang!

3. Die Inhaltsformel des Kegels kann aus der Inhaltsformel der Pyramide abgeleitet werden. Geben Sie dazu die einzelnen Lernschritte an.

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1989/I,1

1. Erläutern Sie verschiedene Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen! Gehen Sie jeweils auf Kriterien für die Lösbarkeit ein!

2. Das Lösen von quadratischen Gleichungen über 0 führt auf die Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen durch Quadratwurzeln. Begründen Sie diese Aussage! Hat man damit alle reellen Zahlen gewonnen? Erläutern Sie Ihre Antwort!

3. Entwerfen Sie eine Sequenz von Lernschritten, die die Lösung quadratischer Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung zum Ziel hat!

4. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in deren Mittelpunkt die folgende Aufgabe steht:

a) Es gibt beliebig viele Rauten ABCD, deren Diagonalen [AC] mit =e cm und [BD] mit = f cm zusammen 18 cm lang sind.

b) Ermittle den Flächeninhalt A(e) der Rauten ABCD in Abhängigkeit von e.

c) Wie lang bzw. wie kurz kann eine Diagonale höchstens werden, wenn der Flächeninhalt der Raute ABCD größer oder gleich 28 cm2 sein soll?

1989/I,2

1. a) Definieren Sie die Winkelfunktion Sinus und Cosinus am rechtwinkligen Dreieck!

b) Wie lassen sich diese Definitionen erweitern?

2. Beweisen Sie das Additionstheorem

sin (aiß (?}x?}d?}?Œß?????a???}ßJ?3.
a) Gegeben: f1(x) = A1 sin x, f2(x) = A2sin(x+a)

Berechnen Sie die Amplitude B und die Phasenverschiebung _ der

Funktion f(x) = B sin(x+_) = f1(x) + f2(x).

b) Untersuchen Sie für A1 = A2 = A die drei Sonderfälle für

a=0, , a=p. Skizzieren Sie jeweils die zu f1, f2, f gehörenden Graphen!

4. Beschreiben und erörtern Sie Möglichkeiten der Einführung der Funktionen Sinus und Cosinus im Unterricht!

1989/I,3

1. a) Erklären Sie den Begriff g-adischer Bruch! Unter welchen Bedingungen ergibt sich bei der Umwandlung eines gemeinen Bruches in einen g-adischen Bruch eine abbrechende bzw. eine periodische Darstellung? Geben Sie typische Beispiele für g=10 und g=2.

b) Beschreiben Sie Verfahren, mit denen man gemeine Brüche in g-adische Brüche umwandeln kann und umgekehrt! Geben Sie wieder Beispiele für g=10 und g=2.

2. Welche Bedeutung hat das Rechnen mit Dezimalbrüchen im Mathematikunterricht der Realschule? Erörtern Sie in diesem Rahmen Einsatzmöglichkeiten des Taschenrechners!

3. Begründen Sie in schülergemäßer Weise die Regeln für die Addition und Multiplikation von Dezimalbrüchen!

4. Entwickeln Sie eine Lerneinheit zur Behandlung der Division von Dezimalbrüchen!

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1988/II,1

1. a) Definieren Sie den Begriff der Potenz mit positiven ganzen Exponenten!

b) Stellen Sie die Rechengesetze für Potenzen mit positiven ganzen Exponenten zusammen, und geben Sie jeweils einen schülergemäßen Beweis an!

2. Beschreiben Sie, wie dieser Potenzbegriff im Unterricht auf Potenzen mit ganzzahligen Exponenten erweitert wird! Zeigen Sie dabei insbesondere, wie das Weitergelten der Potenzgesetze plausibel gemacht werden kann!

3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit, in deren Zentrum die Potenzfunktion mit der Gleichung y = a × x-2 durch einen vorgegebenen Punkt steht!

1988/II,2

1. a) Erläutern Sie die Begriffe Spiegelung an einer Ebene im Raum und Punktspiegelung im Raum!

b) Welche Symmetrien von Körpern gibt es?

2. Beschreiben Sie verschiedene Möglichkeiten zur Veranschaulichung räumlicher Symmetrien von Körpern! Erörtern Sie die unterrichtsmethodische Funktion dieser Möglichkeiten!

3. Skizzieren Sie eine Unterrichtseinheit über Deckabbildungen des Würfels!

1988/II,3

1. Welche fachlichen Gesichtspunkte spielen bei der Erweiterung eines Zahlenbereichs eine Rolle? Erläutern Sie diese am Beispiel der Erweiterung von N auf .

2. Beschreiben und erörtern Sie unterrichtsmethodische Zugänge zur Einführung der ganzen Zahlen!

3. Skizzieren Sie eine Unterrichtssequenz zur Einführung der Multiplikation ganzer Zahlen!

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1988/I,1

1. a) Erläutern Sie die Scherung als Abbildung einer Ebene auf sich.

b) In welchen Eigenschaften unterscheidet sich die Scherung von den Kongruenz-und den Ähnlichkeitsabbildungen? Erläutern Sie die Unterschiede anhand geeigneter Beispiele!

c) Zeigen Sie mit Hilfe der Abbildungsvorschrift, daß der Flächeninhalt eine Invariante der Scherung ist!

2. a) Erörtern Sie die Bedeutung der Scherung im Rahmen des Geometrieunterrichts der Realschule!

b) Entwickeln Sie Lernziele zum Thema Scherung!

3. Arbeiten Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema Scherung aus!

1988/I,2

1. Entwickeln Sie bezüglich eines kartesischen (x,y)-Koordinatensystems die Gleichung für die Drehung um den Ursprung mit Drehwinkel ardinatensystems die Gleichung f?r die Drehung um den Ursprung miß Drehw2. Definieren Sie das Produkt zweireihiger Matrizen (?ber R.) .Wann hei?en solche Matrizen orthogonal? Wie lassen sich orthogonale zweireihige Matrizen mit Winkelfunktionen darstellen?

3. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zum Thema 'Matrizenmultiplikation' aus! Dabei soll die Definition der Matrizenmultiplikation mit Hilfe der Verkettung von Abbildungen begr?ndet werden!

4. Erfrtern Sie die Bedeutung der Matrizen f?r den Geometrieunterricht der Realschule!

1988/I,3

1. a) Lösen Sie die Ungleichung < 0 über der Grundmenge Q.

b) Geben Sie bei jedem Umformungsschritt die verwendeten Verknüpfungsgesetze an!

c) Welche weiteren Kenntnisse und Fähigkeiten benötigen Schüler beim Lösen einer solchen Ungleichung?

2. a) Geben Sie Gründe an für die Behandlung von Ungleichungen in der Realschule!

b) Erläutern Sie Hilfen für das Lösen von Ungleichungen!

3. In einem Schulbuch der Jahrgangsstufe 8 für Realschulen findet man folgende Aufgabe:

"Die Länge der Seite [AD] von Rechtecken ABCD ist größer als 6 cm und kleiner als 10 cm. Außerdem ist die Seite [AD] um 6 cm kürzer als die doppelte Länge der Seite [AB]. Wie lang können die Rechteckseiten sein? Zwischen welchem kleinsten und welchem größten Wert liegen die Flächeninhalte der Rechtecke ABCD"?

Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Lösung dieser Aufgabe!

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1987/II,1

1. a) Erläutern Sie die Begriffe Funktion, lineare Funktion und quadratische Funktion.

b) Beschreiben Sie verschiedene Typen der Funktion f(x)=ax2+bx+c und veranschaulichen Sie jeden Typ durch einen Graphen.

2. Entwickeln Sie eine Lernsequenz zum Thema quadratische Funktion. Beginnen Sie mit der Normalparabel und gehen Sie auf ebene Abbildungen ein, die bei der jeweiligen Verallgemeinerung eine Rolle spielen.

3. Formulieren Sie eine Extremwertaufgabe, die innerhalb des Themas quadratische Funktion behandelt werden kann. Geben Sie eine Didaktische Analyse für eine entsprechende Unterrichtseinheit.

1987/II,2

1. a) Definieren Sie die Begriffe Zerlegungsgleichheit und Ergänzungsgleichheit zweier Vielecke.

b) Erläutern Sie diese Begriffe an je zwei Beispielen.

c) Zeigen Sie, daß, es sich um Äquivalenzrelationen handelt.

d) Wie hängen die beiden Begriffe zusammen?

2. a) Führen Sie einen unterrichtsgerechten Beweis für folgenden Satz:

Zieht man durch einen beliebigen inneren Punkt einer Parallelogrammdiagonale die Parallelen zu den Seiten, so sind die von dieser Diagonale nicht geschnittenen Parallelogramme inhaltsgleich.

b) Verwandeln Sie konstruktiv ein gegebenes Dreieck (Seite c, anliegenden Winkel a) Verwandeln Sie konstruktiv ein gegebenes Dreieck (Seite c, anliegenden Winkel $p}0ªx?Ot?}??u??u??}o?xären Sie die Konstruktion.

1987/II,3

1. Erläutern Sie die Begriffe

a) Term, Termwert, Termumformung und Äquivalenz von Termen,

b) Gleichung, Äquivalenzumformung einer Gleichung.

2. Welche Probleme ergeben sich bei der Behandlung von Bruchgleichungen?

Welche Kenntnisse und Fähigkeiten benötigen Schüler beim Lösen von Bruchgleichungen?

3. a) Lösen Sie die folgenden Gleichungen so, daß die Lösungen als "Musterlösungen" für eine 8. Klasse geeignet sind!

b) Geben Sie eine Folge von Bruchgleichungen mit zunehmendem Schwierigkeitsgrad an, und kennzeichnen Sie die Schwierigkeiten!

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1987/I,1

1. a) Was versteht man unter einer Intervallschachtelung?

b) Beschreiben und erklären Sie ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung des Inhalts eines Kreises mit Hilfe einer Intervallschachtelung!

c) Geben Sie die drei ersten Intervalle der Intervallschachtelung an!

2. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Kreisumfangs!

3. Entwickeln und begründen Sie eine Unterrichtssequenz zum Thema Umfang und Inhalt des Kreises!

1987/I,2

1. Geben Sie ein Lösungsverfahren für die quadratische Ungleichung ax2+bx+c > 0 (a,b e+bx+c > 0 (a,b n Lfsungsverfahren f?r diötigen Fallunterscheidungen, erläutern Sie die Umformungen, und diskutieren Sie die Lösbarkeit!

2. Zeigen Sie am Beispiel der Ungleichungen typische Schwierigkeiten auf, die bei der Lösung von Bruchungleichungen zusätzlich entstehen können!

3. Geben Sie zwei Aufgabenstellungen aus verschiedenen mathematischen Gebieten an, die auf quadratische Ungleichungen führen!

4. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Lösung der folgenden Aufgabe: Ein rechteckiges Eckgrundstück ist 20 m breit und 40 m lang. Die beiden Anliegerstraßen sollen verbreitert werden, wozu jeweils ein gleichbreiter Streifen des Grundstücks benötigt wird. Die Grundstücksfläche soll höchstens um verkleinert werden. Wie breit darf der Streifen höchstens sein?

1987/I,3

1. a) Erläutern Sie die Ähnlichkeitsabbildungen der Ebene!

b) Zeigen Sie, daß die Ähnlichkeitsabbildungen eine Gruppe bilden!

c) Geben Sie Beziehungen zu anderen Abbildungsgruppen an!

2. Stellen Sie einen methodischen Weg dar, wie man im Unterricht die Strahlensätze mit Hilfe der zentrischen Streckung herleiten kann!

3. Geben Sie wesentliche Schritte zur Entwicklung des geometrischen Abbildungsbegriffs im Unterricht an!

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1986/II,1

1. Vierecke lassen sich einerseits durch Längenbeziehungen und Winkel, andererseits durch Symmetrieeigenschaften klassifizieren.

a) Geben Sie eine Übersicht über Viereckstypen und deren Klassifikation nach Längen und Winkeln!

b) Welche Viereckstypen lassen sich durch Symmetrieeigenschaften charakterisieren? Geben Sie die entsprechenden Deckabbildungen an!

2. "Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck wenn die Summe zweier Gegenseiten gleich der Summe der beiden anderen ist."

a) Zeigen Sie einen möglichen unterrichtlichen Zugang zu diesem Satz auf!

b) Beweisen Sie diesen Satz!

3. Entwickeln Sie, ausgehend von einer von Ihnen gewählten Definition, eine Lernsequenz zum Thema Parallelogramm!

1986/II,2

1. Zeigen Sie, daß in der Ebene QxQ die Gerade y=p (p Primzahl) die Normalparabel y=x2 nicht trifft!

2. a) Definieren Sie den Begriff Intervallschachtelung!

b) Beschreiben Sie zwei verschiedene Problemstellungen, bei denen im Unterricht der Realschule Intervallschachtelungen auftreten!

3. a) Beschreiben Sie, wie Sie im Unterricht der ersten Glieder einer Intervallschachtelung für gewinnen!

b) Diskutieren Sie ein weiteres Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von !

1986/II,3

1. Geben Sie zwei verschiedene Definitionen für den Begriff Winkel an!

2. Skizzieren Sie eine Lernsequenz, die die Winkelmessung im Gradmaß und im Bogenmaß zum Ziel hat!

3. Was versteht man unter Polarkoordinaten, und wie können sie zur Definition der Winkelfunktionen sin und cos benutzt werden?

4. Nennen Sie die unterrichtlichen Schritte, die Sie zur Herleitung der allgemeinen Abbildungsgleichung der Drehung um den Drehpunkt (0/0) in der Koordinatenebene benötigen!

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1986/I,1

1. a) Definieren Sie Pyramide und reguläres Tetraeder!

b) Beweisen Sie die Formel V = Gh für den Inhalt der Pyramide (G: Inhalt der Grundfläche,

h: Länge der zugehörigen Höhe)!

c) Entwickeln Sie eine Formel für den Inhalt des regulären Tetraeders in Abhängigkeit von der Kantenlänge a!

2. Zeichnen Sie das Schrägbild (Verzerrungswinkel ?=45°, Verzerrungsverhältnis q= und das Dreitafelbild eines regulären Tetraeders mit der Kantenlänge 6 cm! Beschreibung des Konstruktionsganges!

3. Erörtern Sie die Bedeutung der Darstellenden Geometrie für die Realschule!

4. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Formel für den Pyramideninhalt aus!

1986/I,2

1. Charakterisieren Sie die Struktur des Bereichs Q der rationalen Zahlen!

2. Beschreiben Sie verschiedene Sachverhalte, die eine Erweiterung des Zahlbereichs der Bruchzahlen zum Zahlbereich Q der rationalen Zahlen nahelegen!

3. a) Erläutern Sie ein methodisches Konzept, nach dem die negativen rationalen Zahlen in der Realschule eingeführt werden können!

b) Wie kann man im Unterricht die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen einführen mit Hilfe der bekannten Addition und Subtraktion in

4. a) Erklären Sie die verschiedenen Bedeutungen des Minuszeichens! Diskutieren Sie typische Schülerfehler, die auf ein mangelndes Verständnis im Umgang mit dem Minuszeichen zurückzuführen sind!

b) Wie kann man Schülern klarmachen, daß das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist?

1986/I,3

1. a) Definieren Sie den Begriff Funktion!

b) Beschreiben Sie Proportionalität und Antiproportionalität als spezielle Funktionsarten!

2. Entwickeln Sie eine Lernzielsequenz zum Thema Proportionalität und Antiproportionalität, und begründen Sie deren Aufbau!

3. "Der Flächeninhalt eines Dreiecks ABC sei 18 cm2, die Höhe auf die Seite AB 7,5 cm. Wie muß für ein Dreieck mit gleichem Inhalt die Grundseite AB verändert werden, wenn die Höhe auf 4,8 cm verkürzt werden soll?" Lösen Sie die Aufgabe, und beschreiben Sie, welche funktionalen Zusammenhänge in ihr zum Tragen kommen!

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1985/II,1

1. a) Definieren und erläutern Sie die Scherung als Abbildung einer Ebene auf sich!

b) Leiten Sie die Eigenschaften der Scherung aus der Abbildungsvorschrift ab!

c) Vergleichen Sie Scherung, Kongruenzabbildung und Ähnlichkeitsabbildung hinsichtlich ihrer Eigenschaften!

2. a) Erörtern Sie die Bedeutung der Scherung im Rahmen des Geometrieunterrichts der Realschule!

b) Formulieren Sie geeignete Lernziele!

3. Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung in die Scherung aus!

1985/II,2

1. a) Erklären Sie die Begriffe größter gemeinsamer Teiler ggT(a,b) und kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV(a,b) zweier natürlicher Zahlen a und b!

b) Beweisen Sie: ggT(a,b)×kgV(a,b) = a×b.

2. a) Was versteht man unter dem Euklidischen Algorithmus? (Erklären Sie dieses Verfahren! Warum läßt sich damit der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen bestimmen?)

b) Beschreiben Sie ein weiteres Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers!

3. a) Arbeiten Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung des Euklidischen Algorithmus aus!

b) Welche Lernziele können mit der Behandlung dieses Verfahrens erreicht werden?

1985/II,3

1. a) Formulieren und beweisen Sie den Sinussatz für das ebene Dreieck!

b) In den Kongruenzsätzen sind jeweils drei Bestimmungsstücke des Dreiecks gegeben. In welchen Fällen genügen der Sinussatz und der Winkelsummensatz zur Berechnung der fehlenden Dreiecksstücke, in welchen nicht? Begründung!

2. a) Zeigen Sie: Im Dreieck liegt die größte Seite dem größten Winkel gegenüber:

- elementargeometrisch

- mit Hilfe des Sinussatzes und des Monotonieverhaltens der Sinusfunktion. (Fallunterscheidung: spitz- und rechtwinkliges Dreieck - stumpfwinkliges Dreieck).

b) Diskutieren Sie beide Beweise unter didaktisch-methodischen Gesichtspunkten!

3. Entwickeln Sie eine Unterrichtsstunde zur Lösung der beiden folgenden Aufgaben mit Hilfe des Sinussatzes:

(1) Von einer Standlinie AB mit = 800 m wird der Fußpunkt C eines Turmes gesichtet, der 500 m von A entfernt ist. Von B aus erscheint die Blickrichtung zum Turm gegenüber der Standlinie unter einem Winkel von 30° . Wie weit ist der Turm von B entfernt?

(2) = 900 m, sonst wie (1).

(Berücksichtigen Sie dabei besonders Unterrichtsvoraussetzungen, Lernziele, Arbeitsmittel, Sozialformen und vorhersehbare Erarbeitungsschwierigkeiten!)

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1985/I,1

1. a) Geben Sie eine Definition für den Begriff "zentrische Streckung der Ebene" an.

b) Nennen Sie wichtige Eigenschaften zentrischer Streckungen.

c) Geben Sie Gründe an, weshalb es zweckmäßig ist, auch negative Streckfaktoren zuzulassen.

2. a) Nennen Sie einige Anwendungen der zentrischen Streckung in der Schulmathematik.

b) Ist es sinnvoll, im Unterricht auch zentrische Streckungen des Raumes zu behandeln?

c) Erläutern Sie, wie man im Mathematikunterricht von der zentrischen Streckung zu den Ähnlichkeitsabbildungen gelangen kann.

3. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit, die der Erarbeitung des folgenden Satzes dient:

"Wird eine Fläche F mit dem Inhalt A durch eine zentrische Streckung mit Streckfaktor k auf eine Fläche F' abgebildet, so gilt für deren Inhalt A'=k2×A."

1985/I,2

1. a) Definieren Sie den Begriff "Gruppe"!

b) Erläutern Sie vier Beispiele von Gruppen aus verschiedenen Bereichen, die im Unterricht der Realschule behandelt werden können!

2. Stellen Sie für die Decktransformationen eines gleichseitigen Dreiecks eine Verknüpfungstafel auf, und bestimmen Sie die Untergruppen!

3. Zeigen Sie, wie man im Geometrieunterricht den Gruppenbegriff einführen kann!

4. Diskutieren Sie die Bedeutung des Gruppenbegriffs im Unterricht der Realschule!

1985/I,3

1. a) Definieren Sie die Begriffe "Relation" und "Funktion".

b) Geben Sie verschiedenartige Darstellungsweisen von Relationen und Funktionen an.

2. Beschreiben Sie eine Lernsequenz zum Aufbau des Begriffs "Funktion".

3. Diskutieren Sie die Probleme, die sich bei der Behandlung der Potenzfunktionen jeweils ergeben, wenn man den Exponentenbereich erweitert.

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1984/II,1

1. a) Erläutern Sie, wie man den Begriff der n-ten Wurzel einer positiven Zahl definieren kann.

b) Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die n-te Wurzel einer positiven Zahl mit beliebiger Genauigkeit bestimmen kann. Führen Sie es am Beispiel von vor.

c) Geben Sie wichtige Wurzelregeln an, und beweisen Sie eine davon.

2. a) Geben Sie Problemstellungen an, bei denen der Begriff der Wurzel verwendet wird.

b) Erläutern Sie, wie sich die Wurzelrechnung in die Potenzrechnung einordnen läßt.

c) Überlegen Sie, ob es im Unterricht erforderlich ist, zusätzlich zu den Potenzregeln eigens Wurzelregeln hervorzuheben.

3. Wie kann man mit den Schülern die Fragen behandeln, ob Wurzelziehen "vergrößert" oder "verkleinert"?

1984/II,2

1. a) Nennen Sie die Kongruenzsätze für Dreiecke.

b) Erläutern Sie die Bedeutung der Kongruenzsätze für Dreieckskonstruktionen.

2. Erläutern Sie die Problematik des Kongruenzsatzes SSW an einer geeigneten Sachsituation.

3. Ein Patrouillenboot, das für 30 km Treibstoff an Bord hat, verläßt den Hafen A mit Kurs NO. In welcher Entfernung von A muß das Boot spätestens abdrehen, um den Hafen B zu erreichen, der 20 km östlich von A liegt?

Skizzieren Sie eine Unterrichtsstunde, die die Lösung dieser Aufgabe mit Hilfe von Dreieckskonstruktionen zum Ziel hat.

1984/II,3

1. a) Definieren Sie auf zwei verschiedene Weisen die Cosinusfunktion.

b) Bestimmen Sie elementargeometrisch cos 20°, cos 45° und cos 60°.

2. Wie führen Sie die Cosinusfunktion im Unterricht ein? Geben Sie die wichtigsten Schritte an.

3. Beschreiben Sie die Bedeutung der Cosinusfunktion für Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck.

4. Erläutern Sie, wie Sie in einer Unterrichtseinheit die Periodizität der Cosinusfunktion mit Hilfe eines Schwingungsvorgangs erarbeiten können.

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1984/I,1

1. a) Was versteht man unter einer ebenen Kongruenzabbildung?

b) Wie können die verschiedenen Typen von Kongruenzabbildungen durch Verkettung von Geradenspiegelungen erzeugt werden? (Erläuterung mit Skizzen)

2. Entwickeln Sie eine Unterrichtseinheit zur Einführung der Punktspiegelung (Lernziele, Motivation, Aufbau, Lernzielkontrolle) in der Realschule!

3. Viele geometrischen Sätze lassen sich mit Hilfe von Abbildungen oder mit Hilfe von Kongruenzsätzen beweisen.

a) Erläutern Sie beide Beweismethoden am Beispiel des Satzes:

"Haben die parallelen Seiten eines Trapezes die Längen a und b, so gilt für die Länge der Mittel-parallelen (a +b)."

b) Diskutieren Sie Vor- und Nachteile beider Methoden für dieses Beispiel!

1984/I,2

1. Geben Sie verschiedenartige Möglichkeiten zur Bestimmung des Extremwertes von Termen der Form

T(x) = ax2+bx+c (a,b,c,x e R) an, und erläutern Sie diese.

2. a) Auf welchen Vorkenntnissen der Schüler bauen die in Aufgabe 1 beschriebenen Möglichkeiten jeweils auf?

b) Entwickeln Sie eine Lernsequenz zur Behandlung von Extremwertaufgaben der oben genannten Art.

1984/I,3

1. a) Definieren Sie den Begriff Funktion.

b) Erläutern Sie anhand von Beispielen verschiedenartige Darstellungsweisen von Funktionen!

2. Entwickeln Sie eine Lernsequenz zur Einführung in die quadratische Funktion und ihre Umkehrung. Begründen Sie die Abfolge der Lernziele!

3. a) Zeigen Sie einen methodischen Zugang zur Logarithmusfunktion auf!

b) Wie lassen sich anhand dieses Zugangs mindestens vier Eigenschaften der Logarithmusfunktion entwickeln?

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1983/II,1

1. a) Nennen Sie einige Probleme, die auf quadratische Gleichungen führen.

b) Leiten Sie eine Lösungsformel für x2+px+q=0, p,q epx+q=0, p,q eine Lfsungsformel f?r xf?['?[¬?}¤?}0ªx<?}??}d?u`\h\?ösbarkeit.

2. a) Geben Sie an, wie man die Sonderfälle p=0 bzw. q=0 im Unterricht behandelt.

b) Diskutieren Sie, ob es sinnvoll ist, die Schüler eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen auswendig lernen zu lassen.

3. Beschreiben Sie verschiedene Verfahren zum graphischen Lösen quadratischer Gleichungen und erläutern Sie, welche Ziele mit der Behandlung dieser Verfahren im Unterricht erreicht werden sollen.

a) Formulieren Sie den Vietaschen Wurzelsatz für quadratische Gleichungen und beweisen Sie ihn.

b) Erläutern Sie die Bedeutung dieses Satzes für das Thema "Quadratische Gleichungen".

1983/II,2

1. a) Geben Sie eine, sprachlich der 9. Jahrgangsstufe angemessene, Formulierung des Satzes von Cavalieri an.

b) Welche Anwendung kann er im Unterricht der Realschule finden?

2. Der Satz von Cavalieri kann (da er mit Hilfe der Integralrechnung bewiesen wird) in der 9. Klasse lediglich plausibel gemacht werden. Beschreiben Sie einen für den Unterricht geeigneten Gedankengang. (Zeichnungen und Modelle)

3. a) Leiten Sie mit Hilfe des Satzes von Cavalieri die Formel zur Bestimmung des Volumens einer Pyramide ab.

b) Erläutern Sie ein Näherungsverfahren zur Bestimmung des Pyramidenvolumens, bei dem vom Satz von Cavalieri kein Gebrauch gemacht wird.

c) Diskutieren Sie die in 3a) und 3b) beschriebenen Methoden hinsichtlich ihrer Eignung für den Unterricht.

1983/II,3

1. a) Geben Sie eine Definition für den Begriff "Winkel" an.

b) Wie führen Sie die Winkelmessung im Gradmaß und im Bogenmaß im Unterricht ein?

2. a) Definieren Sie die Winkelfunktion Sinus und Cosinus.

b) Erläutern Sie, wie die trigonometrischen Winkelfunktionen in der Realschule eingeführt werden können.

3. Entwickeln Sie eine Unterrichtssequenz zur Herleitung der allgemeinen Abbildungsgleichung der Drehung um den Drehpunkt (0/0) in der Koordinatenebene.

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1983/I,1

1. Nennen Sie die Potenzregeln und beweisen Sie eine dieser Regeln für Basiszahlen aus R und Exponenten aus N mit vollständiger Induktion.

2. Schildern Sie, wie man im Unterricht die Definitionen ao=1 und begründen kann. Gehen Sie dabei auf die Rolle des sogenannten Permanenzprinzips ein.

3. Erläutern Sie die Verwendung von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten für die Darstellung von Zahlen im Mathematik- und Physikunterricht.

4. Nennen Sie einige Schwierigkeiten, die Schüler im Umgang mit Potenzen haben, und machen Sie Vorschläge zu ihrer Überwindung.

5. Entwerfen Sie eine Unterrichtsskizze zur Einführung des Horner-Schemas.

1983/I,2

1. a) Definieren Sie die Begriffe Vektorraum, lineare Unabhängigkeit und Basis.

b) Was versteht man unter dem Skalarprodukt und Vektorprodukt zweier Vektoren? Vergleichen Sie beide "Produkte".

2. a) Welche Möglichkeiten gibt es in der Realschule den Vektorbegriff in der Ebene einzuführen?

b) Wie führen Sie das Skalarprodukt in der Realschule ein?

3. Entwickeln Sie eine Folge von Lernschritten zur Einführung der Ebenengleichung in vektorieller Schreibweise im R3.

4. Zeigen Sie, wie man mit Hilfe von Vektoren beweisen kann:

a) in einem beliebigen Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt und teilen sich gegenseitig im Verhältnis 1:2,

b) den Satz des Pythagoras.

1983/I,3

1. Vergleichen Sie die mathematischen Grundgedanken und Verfahrensweisen der Zahlbereichserweiterung von

2. a) Wie kann man in der Realschule die negativen Zahlen einführen?

b) Welcher methodische Weg eignet sich zur Einführung der Multiplikation negativer Zahlen?

3. a) Erläutern Sie die verschiedenen Verwendungsweisen der Zeichen "+" und "-".

b) Welche Folgerungen ziehen Sie daraus für den Unterricht?

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1982/II,1

Die Satzgruppe des Pythagoras

1. a) Wie lauten die drei Sätze der Satzgruppe des Pythagoras?

b) Nennen Sie für einen der drei genannten Sätze verschiedene Beweismöglichkeiten und führen Sie einen Beweis durch.

c) Zeigen Sie, daß der Satz des Pythagoras umkehrbar ist.

2. Welche Bedeutung hat die Satzgruppe des Pythagoras im Unterricht der Realschule? Gehen Sie dabei auch auf die angestrebten Lernziele ein.

3. a) Geben Sie verschiedene Einstiegsmöglichkeiten für die Behandlung des Satzes von Pythagoras an.

b) Skizzieren Sie eine Unterrichtsstunde zur Einführung des Satzes von Pythagoras (knappe Schilderung des geplanten Unterrichtsablaufs, Lernzielsequenz).

1982/II,2

Die Formeln (a+b)2=a2+2ab+b2 und (a+b)(a-b)=a2-b2 werden als binomische Formeln bezeichnet.

1. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Formeln für den Algebraunterricht der Realschule.

2. Geben Sie verschiedene Möglichkeiten zu ihrer Begründung und Veranschaulichung an.

3. Entwickeln Sie eine typische Aufgabenfolge zur Aneignung dieser Formeln.

4. Beschreiben Sie einige Schwierigkeiten, die Schüler beim Arbeiten mit diesen Formeln haben, und nennen Sie Maßnahmen zu ihrer Überwindung.

1982/II,3

1. a) Erläutern Sie den Begriff "irrationale Zahl".

b) Geben Sie einen Beweis für die Irrationalität von ist Primzahl.

2. a) Erläutern Sie zwei verschiedene Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von

b) Diskutieren Sie diese Verfahren hinsichtlich ihrer Behandlung im Unterricht.

3. Nennen Sie Fragestellungen, bei denen im Mathematikunterricht der Realschule irrationale Zahlen eine Rolle spielen.

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1982/I,1

In der Realschule werden auch Bruchgleichungen der Form

(mit a,b,..........,h aus Z) behandelt.

1. Geben Sie ein allgemeines Lösungsverfahren für diesen Gleichungstyp an und erläutern Sie die verwendeten Umformungen.

2. Zeigen Sie, wie sich die verwendeten Umformungsregeln aus Grundregeln für das Rechnen mit rationalen Zahlen ergeben.

3. Erläutern Sie die Notwendigkeit der Probe für den Fall, daß mit Folgerungen gearbeitet wird. Geben Sie ein Beispiel an.

4. Skizzieren Sie einen möglichen unterrichtlichen Aufbau für die Behandlung solcher Bruchgleichungen.

 

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Letzte Bearbeitung: 01.06.2012 , Kontakt: tsweth@ewf.uni-erlangen.de